0. 들어가며..
나는 수학 (가)형 세대라서 당시에는 "미적분II" "확률과 통계" "기하와 벡터" 이 세 개의 과목이 직접 출제 범위였다. 문이과 통합에 의해 수학의 (가)/(나)형 구분은 폐지되었고, 소위 미기확이라 불리는 '미적분' '기하' '확률과 통계'는 선택과목화 되었다. 그리고 2022 개정 교육과정부터는 미적분과 기하가 선택과목에서도 사라짐에 따라 역사의 뒤안길로 떠나게 되었다.
좌우지간, 문이과 통합 이후 나는 줄곧 수능 응시때 미적분을 선택해서 응시하였다. 공부를 열심히 하고 응시하는 것도 아니라 별다른 이유는 없지만, 그래도 명색이 이과인데 하는 마음이 컸던 것 같다.
2022 개정 교육과정에는 미적분이 사라지기 때문에, 그리고 앞으로 나의 강사로써의 향방에 대해서도 생각하는 찰나, 올해 응시할 수능에서는 (개인적으로는 부끄럽지만) 확률과 통계를 응시해 보려고 생각하였다.
문제는 확률과 통계를 놓은지가 거즈음 10년이라.. 더 이상 유형에 익숙하지 않고, 그래서 오늘부터 가능한 매일? 확률과 통계를 짧게나마 공부해 보려고 한다. 블로그에도 글을 올릴 수 있으면 올려보고.
다만 모든 글에서 항상 언급하지만, 본 글은 전문적인 글이 아니라 단순한 내 느낌이나 관점을 공유하는 것이므로, 전문성을 원하는 분들은 뒤로가기를 눌러주시면 감사하겠다.
1. 확률분포
확률질량함수와 관련한 질문이 되겠다. 모든 확률의 총합은 1임을 기억하자.
평균을 구하는 문제이다. 이산확률변수 X의 평균을 가지고 Y의 평균을 유도하려는 노력을 해야 할 것이다. 특히, 확률과 이산확률 변수의 곱의 합이 평균이라는 사실을 기억하자. 확률분포표가 없어도 있는 것 처럼 생각해보기.
확률분포표를 보고 분산을 구하는 문제이다. V(7X)가 49V(X)와 같다는 것을 기억해야 하겠고, 분산은 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 것과 같다는 것 역시 기억해 두어야겠다.
간단한 이항분포의 계산 문제이다. 이항분포의 표기가 B(n,p)라는 사실을 잘 기억하고, 그들의 곱이 곧 평균이라는 사실을 기억해 두자.
이항분포의 활용이다. 기본적으로 V(4X+1)이 16V(X)와 같다는 것을 알아야 하겠고, 시행은 10회 반복, 동전 2개가 모두 앞면일 확률은 1/4이므로, B(10, 1/4)로써 표기할 수 있음을 숙지하여야 하겠다.
확률밀도함수 문제이다. 확률밀도함수 그래프의 둘러싸인 부분의 넓이는 1임을 숙지해 두어야겠다.
마찬가지로 확률밀도함수 문제이다. x=0일 때 준 식이 1이라는 사실을 이용하여 a를 구해야 하겠고, 원하는 범위를 구하기 위해서는 전체 확률에서 나머지를 빼는, 즉 여사건의 느낌으로 접근하는 것이 좋겠다고 여겨진다.
정규분포 문제이다. 정규분포 N의 표기에 익숙해져야 하겠고, m=4이므로 4를 기준으로 대칭이라는 대칭성을 활용하면 좋겠다는 생각이 든다. 식을 쭉 다 적는다면 생각보다 식이 길어지게 되는데, 필요할 땐 식을 적고, 필요하지 않을땐 당연하게 생각해서 암산하는 투 트랙이 모두 가능하도록 할 필요가 있겠다.
마찬가지로 정규분포 문제이다. 평균과 표준편차를 주었다면 정규분포 N을 표기할 수 있어야 하겠고, 0.9987이라는 숫자가 0.5 + 0.4987의 합 즉, z=3.0과 관련되어 있다는 사실을 빠르게 파악할 수 있으면 좋겠다는 생각이 들었다. 또한 표준화는 m을 빼고 표준편차로 나누어 주면 된다는 것도 숙지해 두면 좋겠다.
정규분포의 활용이다. 평균과 표준편차를 주었으므로 정규분포 N을 표기할 수 있어야 하겠고, 파프리카의 무게의 범위를 주었으므로, P(a=<x=<b)의 형태로 표기할 수 있어야 하겠다. 그리고 이를 표준화시켜 z에 관한 식을 찾아낸다면 좋겠다는 생각이 들었다.
위의 문제와 출제 의도는 거의 완전히 같다고 느껴진다. 다만 이번엔 확률변수가 두 개라는 차이일 뿐이다. 각 확률변수에 대한 정규분포 N을 표기할 수 있어야 하겠고, 각각의 범위가 주어졌으므로 P를 표기할 수 있어야 하겠다. 이후 표준화를 통하여 확률이 서로 같음을 이용하면 문제를 풀이할 수 있겠다는 생각이 든다.
2. 통계적 추정
모집단의 크기를 구하는 문제이다. 표본평균의 표준편차는 표본 n의 제곱근으로 표준편차를 나눠준 것과 같으므로, 이를 이용하여 표본 n을 구하면 좋겠다는 생각이 든다.
임의추출을 하였으므로 표본평균과 관련한 문제라는 사실을 알 수 있다. 표본평균은 표본의 충분히 크다면 정규분포를 따르므로, 먼저 정규분포 N으로써 표기할 수 있어야 하겠고, 이 과정에서 표본으로 나누어 주저야 함을 잊으면 안되겠다. 일단 정규분포가 구해지고, 확률을 표기하고, 표준화를 완료하면 문제 풀이과정은 정규분포의 그것과 크게 다르지 않아보인다.
3. 마치며..
모평균의 신뢰구간은 공부를 하지 않아 다음 업로드에 올릴 예정이다. 확률과 통계는 대수나 미적분에 비해 직관이 상대적으로 중요한 과목이라는 생각을 하는데, 이를 키우기 위해서는 문제를 보고 내가 무슨 생각을 해야 할지, 나에게 주어진 것은 무엇인지를 항상 생각하려는 노력을 해야 하는 것 같다.
맨날 확통만 공부하는 통통이가 되는게 목표는 아니고, 대수와 미적분도 종종 공부할 예정이니 시간 날때마다 스리슬쩍 방문해 주면 감사하겠다. 사실 본업이 공부가 아니라서.. 짬내서 게시글을 올리는 것도 어렵지만, 뭐 아무튼 그렇다.
Edited by 푸른삿포로
Edited 2026.01.06
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