0. 들어가며..
어제 대략적인 통계 개념을 봤다면, 이제 문제를 직접 풀어볼 시간이다. 사람마다 문제풀이 스타일이 다르겠지만, 나의 경우에는 쭉 풀면서 전체 풀이에 걸린 시간을 체크하고, 문제 수로 나눠서 각 문제당 걸린 시간을 확인하고, 틀린 문제와 맞은 문제의 접근법을 조금씩 교정하면서 나아가는 것을 선호한다. 같은 매너로 푼 문제들에 대한 간단한 리뷰나 관점 공유를 해보도록 하겠다. 어제랑 겹치는 문제들이 좀 있다.
1. 기출공부
확률분포표와 분산을 주었다. a-b의 제곱을 구하라는 문제인데, 기본적으로는 1) 확률의 합은 1임을 이용하여 a+b의 값을 구하고 2) 분산이 5/12임을 이용하여, 제곱의 평균과 평균의 제곱의 차가 5/12가 나오도록 식을 짜면 3) ab와 관련한 식이 나오면서 a-b의 제곱을 구할수 있지 않을까 싶다.
확률분포표를 주고 평균을 구하라는 문제가 되겠다. 1) E(6X+1)=6E(X)+1로 변형할 수 있어야 하겠고, 2) 확률분포상 숨긴 내용이 없으니 그대로 평균을 구해서 답을 내주면 되겠다. (나)형이었다.
에이징 커브 이슈로 눈이 좀 침침하지만.. 문제 자체가 많이 어려운 느낌은 아니었다. 소위 빈칸추론 유형의 경우 문제에서 따라가라는 대로 따라가면서 필요한 것을 구해주면 되는데, 문해력이나 독해 지구력이 떨어지면 난감한 경우가 생기고는 한다. 우선 문제에서 1) 평균의 합은 1이므로 a+b와 관련한 식을 하나 구할 수 있겠고, 2) E(X)를 알고 있으므로, E(Y)를 구할 수 있다고 문제에 적혀 있고, 이를 이용하여 a를 구하면 b는 자동으로 결정된다. 3) V(10X-2.21) = 100V(X)라는 사실을 안다면 (다) 역시도 어렵지 않게 구할 수 있다. (나)형이었다.
확률분포표를 주고 평균을 구하라는 문제이다. 1) 확률의 합은 1이므로, a의 정확한 값이 나오겠고, 2) a가 나오면 더 이상 숨기고 있는 내용이 없으니 그대로 평균을 구해 주면 되겠다.
평균의 합이 1임을 이용하자니, a가 사라지는 불상사가 생긴다. 우리는 a를 먼저 구하고 가야 하므로, 다른 조건이 또 있는지를 확인해 보면, 아래에 0에서 2 범위의 확률분포의 합이 7/8이라는 정보가 있으므로, 1) P(X=-1)에서 1/8을 채워줘야 한다는 사실을 통해 a를 찾아낼 수 있겠고, 2) a가 나타난 이상 더 숨기는 것은 없으므로, 그냥 평균을 내주면 되겠다. (나)형이었다.
어제 푼 문제랑 중복이다. 이산확률변수를 -2에서 2 범위로 줬고, 확률질량함수를 범위에 따라 나눴을 때, 상수 k의 값을 구해야 하는 상황이다. 1) 확률의 합은 1이므로, 각각을 대입한 것의 합이 1이라는 것을 알 수 있겠고, 이를 이용하면 그냥 k가 나온다. 기본적으로는 5k가 나올 것이고, 좌우 대칭으로 조금의 총명함이 허락된다면 x=1, 2를 넣은 것의 두배를 쳐주면 조금 더 빠르게 답이 나오지 않을까 싶다.
조건부 확률과 섞인 양상이다. 할 수 있는 것을 먼저 하고, 그 이후에 다음을 노린다. 1) 확률의 합은 1이므로, 다 더해주면 10c^2 + 9c = 1이 되겠고, 이항하면 10c^2 + 9c - 1 = 0 인데, 이게 인수분해가 된다. (10c-1)(c+1) = 0 이 되려나. c가 양수이므로 1/10로 강제되고, 여기서 조건부 확률을 출발한다. 2) P(A|B)이면 A와 B의 교집합의 확률을 B로 나누어 주는 것인데, 확률변수 X가 6 이상인 사건이 A이고 3 이상인 사건을 B라 하면은, P(A)가 P(B)에 포함되어버린다. 즉, 교집합은 P(A)와 동일하다는 것이고, 3) 따라서 P(A) = 10c^2 인데, c=1/10이므로 P(A)=1/10이다. 4) P(B) = 10c^2 + 6c인데, c=1/10이므로 7/10이다. (가)...형이다.
주사위 눈을 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2, 3으로 한정된다. 케이스를 분류하면, 1) 0인 경우는 4 하나, 1인 경우는 1과 5 두개, 2인 경우는 2와 6 2개, 3인 경우는 3 하나로, 각각의 확률이 확정된다. 2) 평균은 확률과 확률변수의 곱의 합으로 구하면 되겠다.
얼핏 보기에는 꽤 난이도가 있어 보인다만, 막상 읽어보면 못 풀 문제까지는 아닌 듯 하다. 1) 주사위를 던지므로 가능한 눈의 범위는 1~6인데, 각각의 교점을 세보면 4 6 4 4 2 2이다. 2) 즉 가능한 변수가 2 4 6으로 한정되므로, 변수와 확률을 곱한 것의 합이 확률임을 이용해서 확률을 구하면 되겠다.
표본을 임의추출한다는 점만 특징인 사실상 조합 문제라고 볼 수 있겠다. 1) 40개 중 3개를 임의추출하여 상한 과일이 없으려면, 2개를 제외한 38개 중 3개를 골라야만 하며, 2) 나머지의 경우는 상한 과일이 1개 이상인 셈이다. 여사건의 확률로 접근하면 좋을 것 같다.
확률분포표와 평균을 제시하였다. 1) 확률의 합은 1임을 이용하며 a와 b의 합을 구하고, 2) 평균이 5/18임을 이용해서 a 제곱과 b 제곱의 합을 구하면 3) 사실상 공통수학에 가까운 내용이라고 볼 수 있겠다.
확률분포표와 제곱의 평균을 제시하였다. 1) 확률의 합은 1임을 이용하여 a와 b의 합에 대한 식을 얻을 수 있고, 2) 제곱의 평균을 이용하면 a와 b의 합에 대한 두 번째 식을 얻을 수 있으므로, 3) 사실상 연립방정식에 가까운 문제라고 볼 수 있겠다.
이산확률변수의 범위를 주고, 그것이 2의 주기성을 가진다는 것을 제공하였다. 1) 0 2 4가 같은 확률을 가지며, 1 3이 같은 확률을 가짐을 이용하여 확률분포표를 만들 수 있으며, 2) 제곱의 평균을 주었으므로 이를 이용하여 각각의 확률을 구할 수 있고, 3) P(X=0)에 해당하는 값을 넣으면 풀릴 것으로 보인다.
7개의 공 중 임의의 2개를 꺼내어 확인한 두 개의 수의 곱을 확률변수로 제시한 문제이다. 1) P(X=4)에서 1/21임을 주었는데, 사실 7개 중에서 두개를 꺼내는 경우가 21가지임을 생각해 보면, 오직 1가지 경우만 존재한다는 것을 의미하고, 이는 2가 적힌 공이 2개라는 것을 시사한다. 2) P(X=2)와 P(X=6)이 3 : 2의 비율을 가진다는 것을 활용하면 문제를 풀어낼 수 있을 것으로 보인다.
이산확률변수 X와 Y의 관계식을 제시하고, E(Y)를 구하라는 문제이다. 1) 확률과 이산확률변수의 곱의 합은 평균과 같으므로, 시그마를 이용하여 양변을 정리해 주고, 2) E(X)를 알고 있으므로 P(Y=k)에 대한 식으로 정리될 것이다. 3) 이 역시 E(Y)를 지시하고 있을 것이므로, 이를 이용하여 답을 구해주면 될 듯 하다.
학창시절에 본 적이 있는 문제인 것 같다.. 1) 사분원의 넓이는 이미 정해져 있으므로 하나의 값을 선택한다면 자동으로 차이가 만들어지며, 2) 이는 대칭성을 가진다. 즉 P1과 P5는 서로 같고, P2와 P4는 서로 같은 셈이다. 3) 이를 이용하면 확률분포표를 만들 수 있고, 이를 이용하여 E(X)를 구할 수 있을 것으로 보인다.
구슬 두 개를 동시에 꺼내 두 수를 곱할 때, 기댓값 E(X)를 구하라는 문제이다. 일반적인 문제처럼 보이지만 의외로 조심해야 하는 것은 1이 적혀 있는 구슬이 1개이므로, 두 수의 곱이 1이 되는 경우는 없다는 것이다.. 알고 있다면 그냥저냥한 문제인 듯 하다.
2. 마치며..
오랜만에 봐서 그런지 문항을 인지하는 시간도, 풀이를 진행하는 시간도 미묘하게 늘어나고 뻑뻑해진 기분이다. 다시 머슬메모리가 살아나도록 열심히 공부해야겠다고 다짐하는 바이다. 다음 포스팅엔 아마도 수1이나 수2로 찾아올 듯..
Edited 26.01.06
Edited by 푸른삿포로
'#고등(중등)수학 > 확률과 통계' 카테고리의 다른 글
| [확통] 통계 전파트 기출 공부 #260105 (0) | 2026.01.05 |
|---|
댓글